Ciencia y Técnica
LAS MATEMATICAS DEL ANTIGUO EGIPTO
Por: Ignacio Barradas (COMO VES)* (Fecha publicación:30/3/2005)
A veces un vistazo al pasado es el mejor camino para entender algunas cosas de nuestro presente. Aquí te invitamos a conocer las matemáticas que hace más de 4000 años usaban los egipcios y su curiosa relación con uno de los más destacados inventos del siglo XX: las computadoras.

En el antiguo Egipto, más de dos mil años antes de Cristo, las buenas cosechas y por lo tanto la economía, dependían en gran medida de las inundaciones regulares que provocaban las aguas del Nilo.

Cada año, al terminar el verano las aguas se retiraban una vez más habiendo enriquecido con nutrientes los terrenos laborables y la gente debía volver a sus tareas agrícolas. Eso requería asignar nuevamente los terrenos que correspondía labrar a cada quien, ya que las fronteras se habían desvanecido. Era necesario calcular bien el área de estos terrenos, ya que de sus dimensiones dependía el monto de los impuestos que debían pagarse y las cosechas que se obtendrían.

Al mismo tiempo se construían pirámides de gran sofisticación, como las que se encuentran en las afueras del Cairo o en el Valle de los Reyes, y se llevaba a cabo un intercambio comercial intenso tanto dentro del mismo Egipto como con otros pueblos. Al imaginarnos la vida cotidiana en esta compleja sociedad, no podemos dejar de creer que deben haber tenido una ciencia bastante avanzada, en particular sus matemáticas. De hecho, gracias a algunos papiros que han llegado hasta nosotros, sabemos que los antiguos egipcios eran capaces de hacer operaciones aritméticas, encontrar soluciones de ecuaciones simultáneas y solucionar problemas prácticos bastante complejos.

Sin embargo, en la escuela normalmente no aprendemos mucho sobre sus logros científicos. ¿No habrá nada en ellos que sea de interés hoy en día? ¡Todo lo contrario! Algunos de sus métodos son tan eficientes y bonitos que aún perduran en diversos ámbitos. El olvido en el que cayó la matemática egipcia se debe tal vez a que su sistema numérico, aunque estéticamente agradable, no resultaba muy cómodo para escribir cantidades; era similar al de los romanos, es decir, se usaba un símbolo para cada uno de los números 1, 10, 100, 1000, etc., y se representaba cualquier cantidad simplemente agregando los símbolos cuya suma diera el total deseado. En el sistema numérico egipcio no se podían resolver las operaciones aritméticas como lo hacemos actualmente, pues en nuestros métodos es muy importante la posición de cada símbolo, es decir, nuestro sistema numérico es posicional: el valor de cada símbolo está determinado por su posición. Por ejemplo, en nuestro sistema el 2 en la expresión 32 representa dos unidades, pero en el número 725, el 2 representa dos decenas o veinte unidades. Los sistemas posicionales tienen dos grandes ventajas. La primera es que con un número reducido de cifras (en nuestro caso 0, 1, 2, hasta el 9) podemos escribir cualquier número sin importar qué tan grande sea; los sistemas no posicionales, como el egipcio o el romano, necesitan cada vez más símbolos para representar cantidades grandes. La segunda ventaja consiste en que si se conocen las tablas de multiplicar del sistema, puede realizarse cualquier multiplicación o división usando los métodos que aprendemos en la escuela. ¿Qué pasa entonces con el sistema egipcio? ¿Cómo se hacían las multiplicaciones y divisiones? El método que se utilizaba es tan ingenioso, que corresponde esencialmente al que actualmente usan las calculadoras y computadoras para realizar operaciones.

La multiplicación rusa
Para ilustrar cómo multiplicar dos o más números a la manera de los antiguos egipcios no utilizaremos sus símbolos en ninguna de sus variantes de escritura -jeroglífica, demótica o hierática-, pues aunque son de gran belleza, dificultaría la explicación del método. Usaremos nuestros números y haremos operaciones con ellos primero por medio de un método similar al egipcio y que se deriva de éste, la llamada multiplicación rusa, cuyo nombre proviene del hecho de que aún es usada por mucha gente en Rusia. Supongamos que se quiere multiplicar 14 y 27. Para ello se forman las dos columnas que aparecen en la tablilla.

Los elementos de la primera columna se obtienen mediante duplicaciones del renglón anterior. Para la segunda columna el elemento siguiente se va obteniendo al dividir el renglón anterior entre dos y olvidando cualquier fracción. Las columnas se continúan hasta obtener un 1 en la columna derecha. En esta tabla se tachan los renglones que tengan un número par a su derecha y se suman los elementos restantes en la columna izquierda.

Este es el resultado de la operación 14 por 27 (378). Es posible que en un primer intento este método resulte difícil, pero no hay que olvidar cuánto tiempo nos llevó aprender el mé- todo tradicional y las tablas de multiplicar. Este método sólo requiere de saber sumar, dividir entre dos y multiplicar por dos.

Ahora sí, intente el lector una multiplicación cualquiera con este método. Si lo desea, podría intentarlo incluso con números romanos, siempre y cuando se use el sistema puramente aditivo, es decir, en el cual el 4 se escribe como IIII, el 40 como XXXX, el 9 como VIIII, el 90 como LXXXX, etcétera.

Multiplicaciones a la egipcia

Pasemos ahora al método egipcio original para multiplicar. Se forman dos columnas, la primera de ellas inicia con el 14 y la otra con el 1. Los renglones siguientes se van formando con el doble de la cifra del renglón anterior, hasta llegar en la segunda columna a un número tal que su doble ya sobrepasaría al otro factor, en este caso al 27. Las columnas que se obtienen se muestran en la siguiente tablilla.

La próxima pregunta es: ¿qué números de la derecha son necesarios para formar el 27? Si sumamos de abajo hacia arriba sin pasarnos del 27, vemos que la respuesta es 27?=?16?+?8?+?2?+?1, de modo que para obtener el producto de 14 por 27 se toman (16 veces 14) + (8 veces 14) + (2 veces 14) + 14, pero esos números fueron obtenidos en la columna izquierda, es decir se suman los números en la columna izquierda que están enfrente de los números 16, 8, 2, y 1 de la columna derecha. El resultado es 378 y claramente coincide con el método de la multiplicación rusa.

Para el caso de la división se hace el procedimiento inverso. Supóngase que se desea dividir 389 entre 19. Se toma el 19 y se forman dos columnas de la siguiente manera: en el primer renglón se colocan el 19 y el 1. Los siguientes renglones se obtienen por duplicaciones repetidas de los elementos del renglón anterior hasta obtener en la columna del 19 un número cuyo doble sobrepasaría al 389. Las columnas resultantes aparecen a la derecha.

Luego se pregunta uno qué números de la primera columna es posible sumar de abajo hacia arriba sin sobrepasar el 389, en este caso 304 + 76. La suma de 304 y 152 daría más de 389, lo mismo que si a 304?+?76 se agregaran el 38 o el 19. Entonces, el resultado de la división es la suma de los correspondientes elementos de la columna derecha, en este caso 16 + 4 = 20. Además, como 304?+76 da 380, sabemos que el residuo es 9, es decir 389 entre 19 es igual a 20 y deja un residuo de 9. Intente el lector una división con este método y después si lo desea otra con números romanos.

Una vez más, este método de dividir no sólo permite darse cuenta de que la división consiste en ver 'cuántas veces cabe un número en el otro', sino que no requiere de tablas de multiplicar, sólo hace falta saber sumar, dividir entre dos y multiplicar por dos.

Del antiguo Egipto a las computadoras
¿Cuál es la relación entre las computadoras y los métodos egipcio o ruso de multiplicación y división? Las computadoras trabajan usualmente con componentes electrónicos que se encuentran en uno de dos estados: con corriente o sin ella. Internamente, las computadoras almacenan un número mediante la presencia y la ausencia de corriente en ciertos elementos de los circuitos. Dichos elementos representan ceros (ausencia de corriente) y unos (presencia de corriente). No es fácil ni muy eficiente diseñar y construir componentes electrónicos que puedan estar en uno de diez estados (para representar los números del 0 al 9) de modo que se han desarrollado computadoras que trabajan con el sistema binario o de base 2; es decir, dado un número cualquiera, por ejemplo el 27, el cual en realidad representa en sistema decimal o base 10 al 2 x 10?+?7, se le escribe como suma de potencias de 2. ¿Cómo escribir el 27 como suma de 1, 2, 4, 8, 16 y demás potencias de 2? La respuesta es la siguiente: primero divídase el 27 entre 2 en forma repetida, ignorando cualquier fracción que aparezca. Así es exactamente como obtuvimos la columna derecha en la primera multiplicación con el método ruso: 27, 13, 6, 3, 1.

Después, empezando de arriba hacia abajo, se escribe de derecha a izquierda un 0 por cada número par en la columna y un 1 por cada impar, es decir, en este caso se obtiene 11011, la representación binaria del 27. Esto significa que el 27 es igual a 1?x?16 +?1?x 8 + 0?x?4 + 1?x?2?+?1 o a 1?x?24???+?1?x??23??+?0?x?22??+1?x?21??+?1. Así, el método de multiplicación egipcia o el ruso requieren de escribir el número en base dos (claro está que sin tener que saber que es esto lo que se está haciendo). Las operaciones se hacen entonces como si los números estuvieran escritos en sistema binario.

Las pirámides egipcias son todas enormes y de tal belleza y perfección matemática que mucha gente ve en ellas hasta lo que no son: instrumentos para predecir el futuro o cosas aún más disparatadas. Pero quedándonos con lo que sí es un hecho, sabemos que poseen bases perfectamente cuadradas y que quienes las construyeron podían calcular su forma y dimensiones, y eran capaces de organizar el trabajo de cientos de miles de personas y resolver los problemas prácticos que se les presentaban en el camino. Sabían cuánto material necesitarían, pues conocían que el volumen se calcula como un tercio de la base por la altura. Entre los muchos problemas que hubo que resolver para construir las pirámides hay uno que parece muy simple, pero no lo es tanto: ¿cómo construir una base cuadrada de varias decenas de metros por lado? La respuesta aparentemente obvia de medir los lados no basta, como se puede apreciar en muchas canchas improvisadas de fútbol -si las vemos desde la distancia-, pues sus esquinas no siempre son ángulos rectos. El problema central es cómo hacer que un ángulo sea recto o de 90 grados, ya que de otra forma la figura será más de tipo rombo que cuadrada. Los egipcios conocían un resultado matemático muy útil que dice que si tomamos un tramo de cuerda y lo marcamos con 12 unidades igualmente espaciadas y formamos con él un triángulo de lados 3, 4 y 5, entonces el ángulo formado entre los lados de longitud 3 y 4 es un ángulo recto. Esto no significa, sin embargo, que conocieran el llamado teorema de Pitágoras, el cual dice que en un triángulo rectángulo cualquiera, la suma de los cuadrados de los lados más pequeños (catetos) es igual al cuadrado del lado más largo (hipotenusa). Lo que ellos necesitaban, y lo sabían al menos para un triángulo en particular, es el resultado inverso; es decir, que si la suma de los cuadrados de los lados más pequeños de un triángulo es igual al cuadrado del lado más largo, entonces el ángulo comprendido entre los lados más cortos es de 90 grados y, por lo tanto, el triángulo es rectángulo.

El ejemplo inicial hecho con la multiplicación rusa traducido al binario quedaría así: el 27 en binario es 11011, el 14 es 1110 (si se hace la tabla para el 14 dividiendo entre 2 cada vez y tomando un 0 por cada resultado par y un 1 por cada resultado impar, es decir 14, 7, 3, 1, nos da, al escribirlo de arriba hacia abajo, 1110). Aquí viene algo más que facilita la multiplicación a las computadoras y calculadoras; de la misma manera que en sistema decimal el multiplicar por 10 es solamente aumentar un 0, multiplicar por 2 en sistema binario se hace aumentando un 0. Por ejemplo, el doble de 1110 en binario (14 en decimal) es 11100 (28 en decimal). En la tabla del ejemplo 14?x?27 en la multiplicación rusa, la primera columna empezaría con el 14 en binario e iría duplicando sus valores, mientras que en la segunda columna se colocarían verti-calmente las cifras del 27 en binario (11011): y para obtener el resultado de la multiplicación habría que sumar sólo los elementos de la derecha que se encuentran frente a un 1.

Si bien el método recién descrito es muy latoso para hacerlo con lápiz y papel, para una computadora es más fácil representar números en sistema binario que en decimal y, por tanto, las cuentas para la máquina resultan muy simples.

Actualmente hay estándares internacionales para la comunicación y el almacenamiento de información que establecen, por ejemplo, que si se reciben números binarios muy grandes, es decir, secuencias posiblemente muy largas de ceros y unos, éstos serán interpretados digamos cada 8 cifras. Esto permite escribir 256 símbolos diferentes y tiene la ventaja de que cada uno de ellos puede acordarse de antemano. Así, por ejemplo, si se recibe la secuencia binaria correspondiente al 65 (1000001) será una 'A', mientras que la secuencia del 97 (1100001) será una 'a'. Claramente, se construyen bastantes más símbolos que las solas letras del alfabeto, así, el 1 es una carita feliz, el 13 una nota musical, etcétera.

Es curioso que la multiplicación en sistema binario sea mucho más fácil que en sistema decimal; tan es así que varios de los métodos que se inventaron en el curso de los siglos para ayudar a la gente a multiplicar involucraban una transformación previa de los números al sistema binario. Sería interesante probar si la enseñanza de este tipo de métodos contribuye a que los estudiantes obtengan no sólo una mecanización de los algoritmos, sino también un mejor entendimiento de los procesos aritméticos.

* Ignacio Barradas es doctor en matemáticas y biología, e investigador del Centro de Investigación en Matemáticas (CIMAT) del sistema SEP-CONACYT en Guanajuato, Gto.

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